Euler-Polymetren

Der musiktheoretische Hintergrund

Wenn man zwei Frequenzen f und g gegeben hat, so kann man ihr Verhältnis r = f/g betrachten.
In der traditionellen Musiktheorie hat man einfachen rationalen Frequenzverhältnissen große Aufmerksamkeit gewidmet. Wenn r = f/g eine rationale Zahl ist, dann kann man sie als gekürzten Bruch in Primfaktoren zerlegen, d.h. man zerlegt Nenner und Zähler je in Primfaktoren. Die dabei auftretenden Primzahlen und ihre Potenzen studiert man dann genauer.
Viele Musiktheoretiker erachten die drei Primzahlen 2, 3 und 5 für relevant.

Unter reiner Stimmung, oder genauer reiner 2-3-5-Stimmung versteht man deshalb solche Mengen von Frequenzen, deren paarweise Verhältnisse ausschließlich Produkte aus Potenzen dieser drei Primzahlen sind.
Für alle Paare f und g von Frequenzen aus einer solchen Menge gilt also

g = f 2^a 3^b 5^c

für gewisse ganze Zahlen a, b und c.

Für jede feste Ausgangsfrequenz f gibt es ein maximales Tonsystem dieser Art: Man lässt a, b, und c alle ganzen Zahlen durchlaufen. Man spricht vom Eulerschen Tonsystem oder auch vom Eulermodul, denn es war Leonhard Euler, von dem der Vorschlag stammt, statt der Frequenzenverhältnisse Logarithmen zu betrachten:
Statt zwei Verhältnisse r1=2^a1 3^b1 5^c1 und r2=2^a2 3^b2 5^c2 zu multiplizieren, kann man auch die Exponenten-Tripel (a1, b1, c1) und (a2, b2, c2) addieren.
Dadurch entsteht ein dreidimensionales Gitter auf dem die Visualisierungen unserer Beispiele beruhen.

Veranschaulichung in der "Unerhörten Geometrie"

Neben dieser Visualisierung des Eulergitters bietet die Unerhörte Geometrie aber die Möglichkeit, auch die multiplikative Struktur der Frequenzverhältnisse sinnlich zu erfahren.

Jede Frequenz kann - wie schon bei der Geometrie 80-81_0.jvx - als Trommel-Metrum mit einer bestimmten Periode gespielt werden, die umgekehrt proportional dazu ist. Der Faktor ist 1: 2^7, aber du kannst das Tempo auch ändern. Wenn nun ein ganzer Akkord aus mehreren Tönen (Frequenzen) zu spielen ist, dann fangen alle seine Einzelstimmen gleichzeitig an und die Trommelei dauert solange, bis das kleinste gemeinsame Vielfache aller Perioden erreicht ist, d.h. wenn wieder alle Trommeln auf denselben Schlag kämen. Wenn man auf einzelne Punkte klickt, dann kommen 5 Schläge.

Im Beispiel Sequenz02.jvx besteht zwischen den ersten und letzten Akkord ein syntonisches Komma. Wie ihr am folgenden Notenbeispiel seht, schleicht es sich ein, weil man von Akkord zu Akkord jeweils gemeinsame Töne beibehält: